Связь непрерывности длин кривых и непрерывности расстояний в случае компактных метрических пространств

Настоящая работа посвящена изучению однопараметрических деформаций метрик. В работе показывается, что компактности пространства и непрерывности длин кривых не достаточно для непрерывности расстояний, и приводится соответствующий пример. Помимо этого, мы приводим специальные условия, которых достаточно для непрерывности расстояний в совокупности с компактностью пространства. В качестве приложения, мы рассматриваем финслеровы многообразия, метрики которых непрерывно зависят от параметра. Мы показываем, что на компактных финслеровых многообразиях выполнены достаточные условия непрерывности расстояния, из чего следует, что функция расстояния на таких многообразиях также непрерывно зависит от параметра. Последний результат обобщается на ограниченно компактные финслеровы многообразия. Поскольку финслеровы многообразия являются обобщением римановых многообразий, в качестве следствия мы получаем аналогичные результаты для римановых многообразий.