Аннотация:
Пусть $g$ — полупростая алгебра Ли, а $M$ — её простой модуль. Этой паре соответствует два интересных многообразия:
$$
V(M)<GV(M)<g*.
$$
Многообразие $GV(M)$ — это многообразие нулей присоединённого градуированного идеала к аннулятору $M$ в универсальной обёртывающей алгебре $Ug$, являющееся замыканием нильпотентной коприсоединённой орбиты:
$$
GV(M)=\overline{Gu},
$$
а многообразие $V(M)$ является его инволютивным (коизотропным) подмногообразием. Известно, что векторное пространство $V(M)^\bot<g$ (аннуляторы всех векторов из $V(M))$ является подалгеброй Ли в $g$ и важно как инвариант модуля $M$.
Пусть $k<g$ — подалгебра Ли. Модуль M алгебры Ли может обладать дополнительными свойствами 1)–3) (причём 3)$\Rightarrow$2)$\Rightarrow$1)):
1. Быть $(g,k)$-модулем.
2. Быть модулем Хариш-Чандры пары $(g,k)$.
3. Быть ограниченным модулем (определение введено И. Пенковым и В. Сергановой) пары $(g,k)$.
(Что это за свойства, расскажу на докладе.)
Легко видеть, что из 1) следует, что $k<V(M)^\bot$. Если 1) выполнено, то:
$\bullet$ условие 2) верно если и только если многообразие $V(M)$ лежит в нуль-конусе действия алгебры Ли $k$ на векторном пространстве $g^*$.
$\bullet$ условие 3) верно если и только если многообразие $V(M)$ сферично для действия алгебры Ли $k$.
Я постараюсь доказать (объяснить) следующие факты:
Пусть $V$ — векторное пространство. Обозначим через $\mathrm{Gr}(r,V)$ многообразие всех подпространств $V$ размерности $r$.
Теорема 1. Пусть $k<\mathrm{sl}(V)$ — редуктивная алгебра Ли. Тогда существует хотя бы один бесконечномерный ограниченный (условие 3)
$(\mathrm{sl}(V),k)$-модуль если и только если $\mathrm{Gr}(r,V)$ является сферическим $k$-многообразием для какого-то $r$.
Теорема 2. Многообразие $\mathrm{Gr}(r,V)$ $k$-сферично для какого-то $r$ если и только если многообразие $\mathrm{Gr}(1,V)=P(V)$ $k$-сферично.
|
