Аннотация:
Мы изучаем следующий принцип неопределенности для преобразования Фурье
$\widehat{f}$ функций $f$, заданных на $\mathbb{R}^{d}$. Рассматриваются
функции, меняющие знак и имеющие компактный носитель преобразования Фурье.
Пусть $\lambda(f)$ — радиус наименьшего шара с центром в нуле, вне которого
функция $f\le 0$ и $\rho(\widehat{f})$ — радиус наименьшего шара с центром в
нуле, вне которого $\widehat{f}=0$. Один из главных наших результатов
заключается в полном решении следующей проблемы типа Логана:
\[
\inf \lambda((-1)^{m}f)\rho(\widehat{f}),\quad m=0,1,2,\ldots,
\]
где нижняя грань берется по всем положительно определенным функциям $f\ne 0$,
для которых $\int_{\mathbb{R}^d}|x|^{2k}f(x)\,dx=0$, $k=0,\ldots,m-1$, если
$m\ge 1$.
Мы показываем связь данной проблемы с принципом неопределенности
Бургейна–Клозеля–Кохана, связанного с проблемой оценки сферической упаковки
пространства $\mathbb{R}^{d}$, и другие связанные результаты из метрической
геометрии, теории чебышевских систем и квадратурных формул.
Результаты опубликованы в работе: D. Gorbachev, V. Ivanov, S. Tikhonov.
Uncertainty principles for eventually constant sign bandlimited
functions, SIAM J. Math. Anal. 52 (2020), no. 5, 4751–4782;
arXiv:1904.11328.
