Аннотация:
В данном докладе будет приведена геометрическая интерпретация базисов Гельфанда–Цетлина для неприводимых представлений (и более общо, универсальных модулей Верма) алгебры Ли $\mathrm{gl}_n$, янгиана $Y(\mathrm{sl}_n)$ и квантовых аффинных алгебр $U_q(\mathrm{gl}_n)$ и $U_q(\mathrm{Lsl}_n)$.
Основной объект доклада — пространство Ломона и его аффинный аналог. Пространство Ломона является одной из нескольких известных компактификаций пространства отображений из проективной прямой в многообразие флагов группы $\mathrm{GL}(n)$. Оказывается, что на сумме локализованных эквивариантных когомологий (эквивариантных $К$-групп) действует $\mathrm{gl}_n$ (соответственно $U_q(\mathrm{gl}_n))$. При этом базис неподвижных точек совпадает с базисом Гельфанда–Цетлина. Более того, эти действия продолжаются до действия янгиана $Y(\mathrm{sl}_n)$ (соответственно квантовой алгебры петель $U_q(\mathrm{Lsl}_n))$, при котором действия образующих задаются естественными геометрическими соответствиями (формулы очень похожи на формулы M. Varagnolo и H. Nakajima для действия янгиана и квантовой алгебры петель на когомологиях и $К$-группах колчанных многообразий).
В случае аффинного пространства Ломона аналогичные конструкции дают представления аффинного янгиана и тороидальной квантовой алгебры. Ожидается, что эти представления совпадают с конструкциями Такемуры–Углова–Сайто.
|
