Аннотация:
Обычный ответ состоит в том, что проблему Варинга решил Гильберт в 1909 году. Однако это вопиющее упрощение. Тот вопрос, на который ответил Гильберт, математики XVIII века не могли ставить и не ставили, а на тот вопрос, который они задавали, Гильберт не пытался отвечать. В исходной форме XVIII века проблема Варинга состояла в нахождении для каждого натурального k наименьшего s=g(k) такого, что все натуральные числа n можно представить в виде суммы s неотрицательных k-х степеней, n=x_1^k+\ldots+x_s^k. Гипотетическое значение g(s) предсказал Эйлер мл. в 1772 году. Для k=3 эту проблему действительно решил Виферих в 1909 году, а для k\ge 7 её решили Диксон и Пиллай в 1936 году. Однако ее решение для остающихся случаев n=4,5,6 потребовало еще несколько десятилетий, причем для случая n=4, который явно формулировал сам Варинг в 1770 году, решение было завершено лишь в 1984 году с самым существенным использованием компьютеров. Однако в XIX веке Якоби и другие переформулировали проблему Варинга как задачу поиска наименьшего s=G(k) такого, что почти все n можно выразить в такой форме. В XX веке эта проблема была уточнена далее, как поиск такого G(k) и точного списка исключений. В этих формах проблема не решена и сегодня, даже для случая k=3. В докладе я коротко опишу историческое развитие идей, которые привели к полному решению классической проблемы Варинга и упомяну несколько дальнейших вариаций: рациональную проблему Варинга, легкую проблему Варинга и т.д.
