Геометрия класса Громова-Хаусдорфа

Расстояние Громова-Хаусдорфа (GH-расстояние) измеряет различие между каждой парой непустых метрических пространств. Это расстояние неотрицательно, симметрично, зануляется на изометричных пространствах и удовлетворяет неравенству треугольника. GH-расстояние задает соответствующую сходимость последовательностей метрических пространств. Традиционно наиболее интересным семейством, на котором изучается GH-расстояние, является пространство классов изометрии компактных метрических пространств. Для некомпактного случая, включая польские пространства и даже ограниченно компактные, в основном рассматривается модификация сходимости этого типа (так называемая пунктированная GH-сходимость). Отметим, что лишь совсем недавно появилась статья, в которой точечная GH-сходимость для ограниченно компактных пространств была описана в терминах некоторой метрики, построенной на множестве таких пространств.
В настоящем докладе мы будем иметь дело с традиционным GH-расстоянием на классе GH всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии. Отметим, что семейство классов изометрии всех метрических пространств не является множеством (см. парадокс Кантора). Мы используем аксиоматику теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя для построения соответствующей геометрии на классе GH. Кроме того, мы покажем, что GH-расстояние на GH является внутренней псевдометрикой в следующем смысле: для точек на конечном расстоянии это расстояние равно точной нижней грани длин всех кривых, соединяющих эти точки. Далее мы обсудим несколько результатов, посвященных метрическим сегментам в классе GH и его подклассе, состоящем из всех ограниченных метрических пространств. Метрический сегмент - это подкласс всех метрических пространств между парой данных. Мы приведем несколько результатов о возможности продолжения таких сегментов за их концы.
В последней части мы дадим краткий обзор классических и современных результатов, посвященных GH-расстоянию компактных метрических пространств.
Отметим, что презентация подготовлена на английском языке, так что доклад будет доступен и иностранным гражданам.