О разветвленных накрытиях многообразий над сферами

В размерности большей 2 теория разветвленных накрытий многообразий родилась с классической работы Александера 1920 года, в которой доказывалось существование кусочно-линейного разветвленного накрытия произвольного ориентируемого PL многообразия над сферой той же размерности. Однако, для многообразий размерности n в очень естественной и явной конструкции Александера степень данного разветвленного накрытия всегда больше $n!$. Возник вопрос, можно ли и насколько можно понизить эту степень $d(n)$ для всех многообразий данной размерности $n$.
В случае $n=2$, гиперэллиптические поверхности дают тривиальный ответ $d(2)=2$. Знаменитая теорема, доказанная в 1974 году независимо Хилденом, Хиршем и Монтезиносом, утверждает $d(3)=3$. В 1995 году Пиергаллини доказал, что $d(4)=4$. Для $n\geq 5$ даже для $n$-мерного тора $T^n$ до сих пор не построено его разветвленное накрытие над сферой степени $d=n$. Нижняя оценка $d(n)\geq n$ следует из замечательной теоремы Берстейна-Эдмондса 1978 года, утверждающей что для любого разветвленного накрытия ориентируемых многообразий $f:X^n \to Y^n$ выполнено $deg(f) \geq L(X)/L(Y)$, здесь $L(Z)$ — это рациональная когомологическая длина пространства $Z$.
В докладе я расскажу о своей недавней конструкции, которая в частном случае дает явное алгебраическое разветвленное накрытие произвольного прямого произведения сфер $S^{m_1}\times S^{m_2}\times \dots \times S^{m_k}$ над m-сферой, $m=m_1+\dots +m_k$, степени $2^{k-1}$. Также я расскажу о малоизвестной конструкции Арнольда (1997 год или даже раньше) алгебраического разветвленного накрытия $CP^n$ над $S^{2n}$ степени $2^{n-1}$.
Помимо этих явных конструкций будет рассказано о некоторых отрицательных результатах, но для более узкого класса разветвленных накрытий, а именно тех, которые возникают как проекции на факторпространства несвободных действий конечных групп на многообразиях при условии, что эти факторпространства являются топологическими многообразиями.
Доклад состоится через ZOOM. Идентификатор конференции: 894 2173 3235 Код доступа: 981486