Разветвленные накрытия многообразий над сферами.

В размерности большей 2 теория разветвленных накрытий многообразий родилась с классической работы Александера 1920 года, в которой доказывалось существование кусочно-линейного разветвленного накрытия произвольного ориентируемого PL многообразия над сферой той же размерности. Однако, для многообразий размерности n в очень естественной и явной конструкции Александера степень данного разветвленного накрытия всегда больше n!. Возник вопрос, можно ли и насколько можно понизить эту степень d(n) для всех многообразий данной размерности n.
В случае n=2, гиперэллиптические поверхности дают тривиальный ответ d(2)=2. Знаменитая теорема, доказанная в 1974 году независимо Хилденом, Хиршем и Монтезиносом, утверждает d(3)=3. В 1995 году Пиергаллини доказал, что d(4)=4. Для n>=5 даже для n-мерного тора T^n до сих пор не построено его разветвленное накрытие над сферой степени d=n. Нижняя оценка d(n)>=n следует из замечательной теоремы Берстейна-Эдмондса 1978 года, утверждающей что для любого разветвленного накрытия ориентируемых многообразий f:X^n –> Y^n выполнено deg(f)>= L(X)/L(Y), здесь L(Z) — это рациональная когомологическая длина пространства Z.
В докладе Дмитрий расскажет о своей недавней конструкции, которая в частном случае дает явное алгебраическое разветвленное накрытие произвольного прямого произведения сфер S^{m_1}xS^{m_2}x...xS^{m_k} над m-сферой, m=m_1+...+m_k, степени 2^{k-1}. Также будет рассказано о малоизвестной конструкции Арнольда (1997 год или даже раньше) алгебраического разветвленного накрытия CP^n над S^{2n} степени 2^{n-1}.
Помимо этих явных конструкций будет рассказано о некоторых отрицательных результатах, но для более узкого класса разветвленных накрытий, а именно тех, которые возникают как проекции на факторпространства несвободных действий конечных групп на многообразиях при условии, что эти факторпространства являются топологическими многообразиями.