Теория разрушений (катастроф) решений нелинейных уравнений в частных производных. Критические нелинейности

Глобальный анализ нелинейных уравнений в частных производных обнаруживает существование критических нелинейностей, определяемых соответствующими показателями роста. Эти критические показатели зависят от структуры и порядка дифференциального оператора, размерности пространства, сингулярности коэффициентов и от данных задачи для соответствующих уравнений.
Оказалось, что если нелинейность уравнения принадлежит критической области, то любое решение соответствующей задачи разрушается, т.е. терпит катастрофу за конечное время или независимо от граничных условий вне определенного объема.
Далее обнаружилось, что регулярность решений также зависит от критических показателей нелинейностей.
Первые результаты в этом направлении были установлены:

• для эллиптических уравнений в 1965 (С. И. Похожаев), 1981 (B. Gidas, J. Spruck),
• для параболических уравнений в 1966 (H. Fujita),
• для гиперболических уравнений в 1979 (F. John), 1980 (T. Kato).

В докладе рассматривается новый подход к изучению нелинейностей, основанный на концепции нелинейной емкости, порождаемой нелинейным оператором.
В качестве приложений демонстрируются конкретные примеры, в том числе из нелинейной математической физики, включая уравнение Курамото–Сивашинского.