Неравенство Литтлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для систем Уолша и Виленкина

Пусть $\{I_j\}$ — набор попарно непересекающихся отрезков в $\mathbb{Z}$, а $f$ — функция, заданная на $\mathbb{T}$. Через $P_j$ обозначим мультипликаторы Фурье, соответствующие этим отрезкам: $P_j f = (\chi_{I_j}\widehat{f})^\vee$. В 1985 году Рубио де Франсиа доказал следующее неравенство:
$$ \Big\|\Big(\sum_j |P_j f|^2\Big)^{1/2}\Big\|_p\lesssim \|f\|_p. $$

Сильно позднее, в 2016 году, Н. Н. Осипов доказал аналог неравенства Рубио де Франсиа, в котором вместо системы экспонент рассматривается другая система ортогональных функций — функции Уолша. Мы обсудим обобщение этого неравенства на случай более общих систем Виленкина, а также несколько вопросов, связанных с подобным неравенством для функций со значениями в банаховых пространствах.