Аннотация:
Рассмотрим
$C^1$-гладкие базисные векторные поля $X_1,\dots,X_N$, определенные
в некоторой области $\mathcal{D}\subset\Bbb R^N$, т. е. такие, что векторы
$X_1(g),\dots,X_N(g)$ линейно независимы в каждой точке $g\in \cal D$.
Пусть каждому векторному полю $X_i$
присвоено натуральное число $\deg i$, $1\leq \deg i\leq\Upsilon\leq
N$, (степень поля), так что $\deg i\leq \deg j$ в
случае $i<j$, $\deg 1=1$, и коммутаторы векторных полей
$X_1,\dots,X_N$ в $\cal D$ удовлетворяют соотношениям
$
[X_i,X_j]=\sum\limits_{\deg k\leq\deg i+\deg j}C_{ij}^kX_k$.
Для каждого $l\in\{1,\dots,\Upsilon\}$ обозначим
через $H_l$ подрасслоение векторного слоения $T\cal D$, порожденное всеми векторными полями $X_i$ такими, что $\deg i\leq l$. Полагаем, что
размерность $\dim (H_{l}(g))=h_l$ не зависит от
выбора $g\in \cal D$.
Таким образом, мы имеем следующую фильтрацию $H_1\subset H_2\subset\ldots \subset H_{\Upsilon}=T\cal D$.
При некоторых
дополнительных условиях, связанных с определением векторных полей
степени большей $1$, любые две точки $u,v\in \cal D$
можно соеднить горизонтальной кривой конечной длины, т.е. такой абсолютно непрерывной кривой $\gamma(s):[0,s_0]\to\cal D$, что для п.в.
$s\in[0,s_0]$ выполняется $\dot{\gamma}(s)\in H_1(\gamma(s))$.
Тогда определяется расстояние Карно — Каратеодори
$d_{cc}(u,v)$ как
точная нижняя грань длин горизонтальных путей, соединяющих точки
$u,v$; в этом случае пара $(\mathcal{D},d_{cc})$ называется локальным эквирегулярным пространством Карно — Каратеодори.
Однородная нильпотентная аппроксимация пространства $(\mathcal{D},d_{cc})$, согласованная с его фильтрацией, в некоторой окрестности $V_g$ точки $g$ является группой Карно $\Bbb G_g$ глубины $\Upsilon$ с базисом левоинвариантных векторных полей $X^g_1,\dots,X^g_N$, удовлетворяющих соотношениям $
[X^g_i,X^g_j]=\sum\limits_{\deg k=\deg i+\deg j}C_{ij}^k(g)X^g_k$ (см. детали в [1-3]).
Рассмотрим 4-мерное эквирегулярное пространство Карно—Каратеодори такое, что $h_1=2$, $h_2=1$, $h_3=1$. В этом случае группа Карно $\Bbb G_g$ представляет собой группу Энгеля. Из результатов работы [4]
следует, что найдется окрестность $U_g\subset V_g$ точки $g$ такая, что любая точка $w\in U_g$ соединяется с точкой $g$ 4-звенной горизонтальной ломаной $L'_{g}(w)$, определенной при помощи векторных полей $X^g_1$, $X^g_2$, причем семейство ломаных $\{L'_{g}(w)\}$ непрерывно зависит от точки $w$. Тогда, используя методы работы [1], мы получаем, что найдется окрестность $U_g'\subset U_g$ такая, что любая точка $w\in U'_g$ соединяется с точкой $g$ 4-звенной горизонтальной ломаной $L_{g}(w)$, определенной при помощи векторных полей $X_1$, $X_2$, причем семейство ломаных $\{L_{g}(w)\}$ непрерывно зависит от точки $w$.
\smallskip
Работа поддержана Математическим Центром в Академгородке, соглашение № 075-15-
2019-1613 с министерством науки и высшего образования Российской Федерации.
Website:
https://talantiuspeh.webex.com/talantiuspeh-ru/j.php?MTID=md687fd9e36b8f55e0b4de1efe6e497ae
Список литературы
-
S. G. Basalaev, S. K. Vodopyanov, “Approximate differentiability of mappings of Carnot–Carathéodory spaces”, Eurasian Math. J., 4:2 (2013), 10–48
-
А. В. Грешнов, “Доказательство теоремы Громова об однородной нильпотентной аппроксимации для векторных полей класса $C^1$”, Матем. тр., 15:2 (2012), 72–88 ; Siberian Adv. Math., 23:3 (2013), 180–191
-
M. Gromov, “Approximate differentiability of mappings of Carnot–Carathéodory spaces”, Sub-Riemannian geometry, Progress in Mathematics, 144, Birkhäuuser, Basel, 1996
-
A. Greshnov, “Optimal Horizontal Joinability on the Engel Group”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl., 2021 (to appear)
|