Эпсилон-TQFT-представление группы кос $B_n$

Топологической квантовой теорией поля (topological quantum field theory - TQFT) называется функтор из некоторой категории кобордизмов в категорию линейных пространств. ([1]) Т.е. это правило, которое многообразию сопоставляет линейное отображение, а краям многообразия - линейные пространства. Край может трактоваться как одна компонента, и тогда многообразию сопоставляется вектор, как две компоненты (если есть) - тогда многообразию сопоставляется матрица, в общем случае это может быть тензор. Существует TQFT, основанная на простых спайнах 3-многообразий ([2]). Спайн 3-многообразия с непустым краем – это такой двумерный полиэдр в нем, что дополнение к нему имеет вид прямого произведения края многообразия на полуинтервал. Спайн называется простым, если линк каждой его точки либо окружность, либо граф вида три ребра с общими концами, либо граф вида 1-остов тетраэдра. Эпсилон-TQFT - это, можно сказать, сильно облегченная версия TQFT Тураева-Виро, также основанная на простых спайнах, но использующая эпсилон-инвариант (то же самое, что t-инвариант) ([3]) вместо инварианта Тураева-Виро. Эпсилон здесь - обозначение корня квадратного уравнения $x^2=x+1$ ("число золотое сечение"). Косу на n нитях можно рассматривать как диаграмму, изображающую в "плоскости-времени", как набор n точек плоскости меняет со временем свое положение на плоскости и возвращается как целое в исходное положение. В рамках эпсилон-TQFT коса моделируется "толстым диском" ("плоскость-время"), в котором "высверлены" сквозные цилиндры - окрестности нитей-путей. Следует отметить, что в данной TQFT-модели используется модификация определения Атьи, при которой многообразия склеиваются не целыми компонентами края, а подповерхностями в краях. Этот подход естественно реализуется с помощью простых спайнов, точнее - с помощью простых полиэдров с краем, который является графом степени три. Подповерхности - окрестности этих графов в крае многообразия. В нашем случае эти полиэдры имеют два края вида n окружностей, соединенных последовательно n-1 ребрами. Непрерывная деформация во времени такого графа моделирует перемещение "дыр" на сфере (точек в плоскости), и в "плоскости-времени" порождает простой полиэдр с краем, к которому применима формула эпсилон-инварианта, по которой вычисляются элементы соответствующей матрицы. У кос с 3 нитями две порождающие элементарные косы. Соответственно, образ этой группы кос порождается двумя матрицами - образами этих двух элементарных кос. Вычисления дали матрицы размера 15 на 15, имеющие блочную структуру: первый блок размера 8 на 8 - матрицы перестановки - легко поддаются изучению, второй блок - матрицы 7 на 7 с элементами, выражающимися через эпсилон, поддаются изучению трудно.