Проблема нехватки и некоторые аналоги теоремы Виноградова о среднем

Мы рассмотрим аналог системы уравнений Виноградова, из которой исключено не менее одного уравнения. В частности, мы будем рассматривать систему вида
$$ x_{1}^{j}+\ldots +x_{k}^{j}\,=\,y_{1}^{j}+\ldots +y_{k}^{j}\quad (1\leqslant j\leqslant k,\, j\ne k-d), $$
отвечающую $k\geqslant 4$ и $0\leqslant d\leqslant (k-2)/4$. Будет показано, что в этом случае для такой системы имеется недостаток положительных недиагональных целочисленных решений. Полученные нами количественные оценки являются практически точными при $d=o(k^{1/4})$. Если позволит время, то мы коснёмся и случая, когда из системы исключается более одного уравнения.