Аннотация:
В работе С.М. Шиморина 2001 г. Complete Nevanlinna–Pick
Property of Dirichlet-Type Spaces рассмотрены
примеры гильбертовых пространств с ядрами Неванлинны-Пика. Одним из
таких примеров были пространства $ l^2(a_n)$ функций $f(z)= \sum\widehat f(n)z^n$ c условиями
$||f||^2 := \sum |\widehat f(n)|^2 a_n <\infty$. Для того, чтобы существовало ядро Неванлинны-Пика, в данном
случае необходимо и достаточно, чтобы числа $a_n$ были положительными и ряд, обратный ряду
$\sum a_n x^n$, имел неположительные коэффициенты все кроме нулевого.
Достаточным условием является условие выпуклости коэффициентов: $ a_{n+1} a_{n-1} > a_n^2$ (теорема
Калуца, примененная Сеге и Харди).
Легко видеть, что если два ряда удовлетворяют условию логарифмической
выпуклости, то ряд, чьи коэффициенты получены как произведение
коэффициентов исходных, имеет условие логарифмической выпуклости
коэффициентов, а следовательно, обратный ряд будет иметь все неположительные коэффициенты, кроме нулевого.
В докладе будет доказано общее утверждение: Если у двух формальных
степенных рядов с положительными коэффициентами обратные им ряды имеют все неположительные
коэффициенты, кроме нулевого, то для ряда, чьи коэффициенты получены как произведение коэффициентов исходных рядов, обратный ему ряд тоже будет иметь все неположительные коэффициенты, кроме нулевого.
|
