Внешние Бильярды вокруг правильных многоугольников

Классической темой комбинаторики слов является символическая динамика. В Проекте продолжается изучение динамики внешних многоугольных биллиардов, введенных Бернардом Нойманом и предлагаемых Мозером, как модельный случай небесной механики. Компьютерное моделирование позволило и здесь достичь существенного прогресса. Изучая внешние биллиарды для n-угольников, С.Табачников заметил, что они приводят к периодическим траекториям при n = 3, 4, 6 и доказал, что в случае n = 5, 10 существуют апериодические траектории. В течение более 20 лет дальнейшего прогресса не было, за исключением работ Р. Шварца, а также N. Bedaride, J.Cassaigne, Outer billiard outside regular polygons. J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 84, No. 2, 303-324 (2011) где были получены красивые результаты. Участник проекта Рухович установил, что почти все траектории периодичны в случаях n = 8, 12; провел полное исследование https://istina.msu.ru/dissertations/195974565/, работа принята в Известия РАН. При этом возникает эффект фрактального самоподобия областей с одинаковыми символическими траекториями. Планируется рассмотреть принципиально более сложный случай n = 7. Недавно Ф.Рухович и В.Тиморин обнаружили два принципиально разных самоподобия в этом случае. Коэффициенты этих самоподобий порождают подгруппу полного ранга (=2) в группе единиц алгебраического поля K – поля разложения многочлена $z^7-1$ над рациональными числами (это то поле, в котором лежат все вершины правильного семиугольника при подходящем выборе системы координат). По всей видимости, можно установить континуальность множества замыканий апериодических орбит и как следствие, существование апериодической точки с кодом не являющимся подстановочным словом (в отличие от всех известных ранее случаев) равно как и континуальность множества неэквивалентных кодов. В данной области (двойственные бильярды вне правильных многоугольников) наступил момент, когда от изучения отдельных примеров можно перейти к построению общей теории, а имеющиеся частные результаты уже подсказывают богатство этой теории. Интересны также теоретико-числовые аспекты, связанные с различными версиями обобщений теории цепных дробей. Начаты компьютерные эксперименты, получаемые визуализации являются не только источником эвристических соображений, но и способом наглядного формулирования точных утверждений.
Идентификатор конференции: 942 0186 5629 Код доступа-шестизначное число, первые три цифры которого образуют число p+44, а последние три цифры-число q+63, где p,q-наибольшая пара близнецов, меньших 1000.