Аннотация:
Геодезический поток на гладком многообразии с римановой метрикой или с невырожденной индефинитной метрикой не имеет особых точек, и в частности, через каждую точку такого многообразия в любом касательном направлении проходит ровно одна геодезическая. Дело обстоит совершенно иначе в тех точках, где метрика вырождается или имеет особенность типа деления на нуль (как, например, метрика Клейна или Грушина). Такие точки являются особыми для уравнения геодезического потока, и геодезические через них проходят не в произвольных, а лишь в определенных допустимых направлениях.
Доклад посвящен исследованию особых точек геодезических потоков на двумерных многообразиях с псевдоримановыми метриками или метриками типа Клейна. Под псевдоримановой метрикой понимается квадратичная форма на касательном расслоении, без условия положительной определенности. Например, такая метрика возникает на гладкой двумерной поверхности, вложенной в трехмерное псевдоевклидово пространство (Минковского). В случае общего положения поверхность разделена на области, в которых метрика невырождена и имеет постоянную сигнатуру ($++$ или $+-$ или $--$). Эти области разделены кривыми, состоящими из точек, где метрика вырождена (так называемые параболические точки или точки смены сигнатуры); именно эти точки являются особыми для геодезического потока и составляют предмет доклада.
|
