Эффективные методы в теории диофантовых уравнений

При исследовании диофантовых уравнений решаются по мере возможности следующие вопросы: существуют ли решения, если они существуют, конечно или бесконечно их множество. Если удается доказать, что множество решений конечно, то следующими встают вопросы о числе решений, о границах их величины, о возможности найти какие-либо решения и определить совокупность всех решений, об эффективности используемых алгоритмов. Если множество решений бесконечно, возникают вопросы о его структуре и о возможности вычислить какие-либо его структурные характеристики. В последние годы в связи с использованием компьютеров очень активной стала вычислительная деятельность в этой области. В предлагаемом докладе будет сделан обзор методов, с помощью которых удается получить оценки числа решений диофантовых уравнений некоторых классов, оценки величины их решений, а иногда определить и все решения. Мы обсудим следующие темы.
1. Результаты Б. Н. Делоне, относящиеся к диофантовым уравнениям.
2. Приближения алгебраических чисел рациональными (от А. Туэ до К. Рота) и их применение к исследованию диофантовых уравнений.
3. Нижние оценки линейных форм от алгебраических чисел и теоремы о подпространствах (В. Шмидт и последователи), их применения к анализу диофантовых уравнений.
4. Оценки линейных форм от логарифмов алгебраических чисел (А. О. Гельфонд, А. Бейкер и другие). Эффективные границы для решений диофантовых уравнений.
5. Проблема Каталана.
6. Алгоритмы и компьютеры.