Числа вращения и модули эллиптических кривых

Доклад будет посвящен комплексному аналогу языков Арнольда — пузырям Федорова. Конструкцию, приводящую к этому фрактальному множеству, предложил В. И. Арнольд в 1978 г.
Пусть $f$ — диффеоморфизм единичной окружности $|z|=1$. Для комплексного числа $a$, $0<|a|<1$, факторизуем кольцо $|a|<|z|<1$ по действию отображения $af$. После факторизации получается эллиптическая кривая. Предлагается рассмотреть функцию, которая отображает комплексное число $a$, $0<|a|<1$, в модуль этой эллиптической кривой.
Доклад посвящён исследованию свойств этой функции вблизи единичной окружности $|a|=1$. Будет показано, что такую функцию можно непрерывно продолжить на единичную окружность $|a|=1$ (недавний результат Ксавье Бюффа и докладчика). Образ единичной окружности — это фрактальное множество (пузыри Федорова), и мы обсудим структуру этого множества и его связь с языками Арнольда (результаты В. Молдавского, Ю. Ильяшенко, Н. Г.).