Конечно-определенные ниль-полугруппы и апериодические мозаики

Хорошо известна классическая проблема Бернсайда, решенная П.С.Новиковым и С.И.Адяном: Существует ли бесконечная конечно порожденная группа с тождеством $x^n=1$. В свое время А.И.Мальцев назвал выступление П.С.Новикова основным событием в алгебре 20 века. Работа П.С.Новикова и С.И.Адяна, помимо всего прочего, инициировала теорию гиперболических групп. В монографии С. И. Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, Наука, М., 1975 , 335 с. была установлена бесконечность относительно свободной группы с тождеством $x^n=1$ при любом нечетном $n\ge 661$ (в последнее время С.И.Адян установил, что оценку 661 можно заменить на 101). Для всех достаточно больших четных $n$ соответствующий факт был установлен И.Лысенком и С.Ивановым.
Все эти примеры бесконечно определены. В этой связи возникает вопрос о существовании конечно определенной бесконечной периодической группы. Аналогичный вопрос можно поставить для кольца (Существует ли конечно определенное ниль-кольцо) и для полугруппы (существует ли конечно определенная ниль-полугруппа). Существование бесконечной полугруппы с тождеством $x^2=0$ следует из существования бесквадратного сверхслова над алфавитом из трех букв (данный результат инициировал работу П.С.Новикова-С.И.Адяна). Однако эта полугруппа оказывается бесконечно определенной.
Конечно определенную тематику пропогандировали многие исследователи, в том числе С.П.Новиков.
В Свердловской Тетради (выпуск 3, 1989 год, Свердловск, задача 3.61., см. также обзор Kharlampovich, O. G.; Sapir, M. V. Algorithmic problems in varieties. Internat. J. Algebra Comput. 5 (1995), no. 4-5, 379–602, стр. 435, проблема 3.8.) была поставлена проблема
a) (Известный вопрос) Существует ли конечно определенная бесконечная периодическая полугруппа? б) Существует ли конечно определенная бесконечная ниль-полугруппа?
(Л.Н.Шеврин, М.В.Сапир)
Доклад посвящен конструкции бесконечной конечно определенной ниль-полугруппы (т.е. решению проблемы Шеврина-Сапира) c тождеством $x^2=0$. Этот казалось бы, чисто алгебраический вопрос связывается с вопросом метрической геометрии, а именно, с исследованием семейства комплексов, обладающих свойством равномерной эллиптичности: любые две точки $A$ и $B$ на расстоянии $D$ соединяются системой геодезических, образующих диск ширины $\lambda\cdot D$ для некоторой глобальной константы $\lambda>0$ (подобная ситуация имеет место для северных и южных полюсов сферы). В некотором роде, данное свойство противоположно классическому свойству гиперболичности. Элементы полугруппы интерпретируются как геодезические пути на комплексе, составленном из непериодической мозаики (И. А. Иванов-Погодаев, А. Я. Канель-Белов, Конечно определенная нильполугруппа: комплексы с равномерной эллиптичностью Изв. РАН. Сер. матем., 85:6 (2021), 126–163).
Для этого комплекса устанавливается аналог знаменитой теоремы Шахара Мозеса - Гудмана-Штрасса. Классическая формулировка данной теоремы (Chaim Goodman-Strauss, “Matching Rules and Substitution Tilings”, Annals of Mathematics, 147 (1998), 181-223, Mozes, Shahar, “ Aperiodic tilings”. Invent. Math. 128, No. 3, 603–611 (1997)) означает что для любой плиточной подстановочной системы можно установить аранжировки законы примыкания такие, что следование этим законам вынуждает набор плиток собраться в эту систему. Тем самым имеется перевод с языка глобальной геометрической структуры на локальный язык примыкания.
Следующий шаг относится к переводу между языками локальных правил примыкания, и путей на мозаике (отвечающих элементам полугруппы). Такую возможность перевода осуществляет свойство слабой детерминированности, которое необходимо обеспечить. Вводятся кодировки для семейства комплексов, определяется конечная система цветов для вершин и ребер комплексов. Каждый цвет состоит из нескольких компонентов-оттенков, зависящих от геометрической структуры в окрестности данной вершины или ребра. После введения раскраски сначала рассматриваются вспомогательные функции, дающие цвет вершин в зависимости от цветов определенных точек в окрестности данной вершины. После этого с помощью введенных функций проводится доказательство детерминированности введенной раскраски: по цветам вершин и ребер пути длины 2, проходящему по периметру минимального 4-цикла комплекса восстанавливается цвета вершин и ребер сопряженного к нему пути по противоположной части того же 4-цикла.
Доклад основан на совместной работе с И.А.Ивановым-Погодаевым