Асимптотически оптимальное управление замкнутой струной

Речь идет об управляемой системе
$$h_{tt}-h_{xx}=u(t)\delta(x),\quad |u|\leq1,$$
где состоянием является пара $(h_0,h_1=\frac{\partial h_0}{ \partial t})$, где $h$ – четная периодическая функция: $h(x+2\pi)=h(x)$. Мы решаем задачу о быстрейшем переходе из 0 в заданное состояние. Мы находим точную асимптотику минимального времени движения, где слово «асимптотический» относится к состояниям, бесконечно далеким от 0 (грубо говоря, обладающим бесконечно большой энергией). Достижимые из 0 состояния, как было показано ранее, – это пары $(h_0,h_1)$, где функция $h_0$ липшицева, а функция $h_1$ – ограниченная. Основной результат состоит в построении явного управления, которое позволяет осуществить переход $0\rightsquigarrow (h_0,h_1)$ за время, асимптотически эквивалентное минимально возможному.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №20-11-20169, https://www.rscf.ru/project/20-11-20169/ .