О локальных координатах в задаче об орбитальной устойчивости периодических движений в классической и небесной механике

Общий подход к исследованию орбитальной устойчивости периодических движений в задачах классической и небесной механики состоит во введении в окрестности периодического движения локальных координат, что позволяет свести задачу об орбитальной устойчивости к задаче об устойчивости положения равновесия периодической гамильтоновой системы, для решения которой можно применить метод нормальных форм и теорию КАМ.
Предлагается метод введения локальных координат при помощи построения нелинейной канонической замены переменных. Описан конструктивный алгоритм построения указанной замены переменных в виде рядов по степеням новых переменных – локальных координат. Данный метод позволяет избежать сингулярности при введении локальных координат и может применяться как при аналитическом, так и при численном анализе орбитальной устойчивости.
В качестве приложения рассмотрены следующие задачи классической и небесной механики: 1. задача об орбитальной устойчивости периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае Бобылева-Стеклова; 2. задача об орбитальной устойчивости периодических движений динамически симметричного спутника на круговой орбите. Результаты исследования орбитальной устойчивости, полученные на основании предложенной методики, полностью согласуются и существенно дополняют результаты, полученные ранее в указанных задачах другими методами [1-3].
Литература
1. Маркеев А.П. Алгоритм нормализации гамильтоновой системы в задаче об орбитальной устойчивости периодических движений – Прикладная математика и механика, 2002, Т. 66, Вып. 4, С. 929-928.
2. Бардин Б.С. Об орбитальной устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Бобылева-Стеклова. – Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. № 4. С. 535-550.
3. Markeev A.P., Bardin B.S. On the stability of planar oscillations and rotations of a satellite in a circular orbit – Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 85: 51–66, 2003.