Случайные разрезы и распилы. Лекция

В геометрии довольно много красивых вероятностных сюжетов, связанных с вопросами о том, как выглядит «типичный» объект какого-либо вида. Например, пусть пространство случайным образом рассечено на части плоскостями; получилось много выпуклых многогранников.

• Сколько граней в среднем будет у такого многогранника?
  
• Какой будет средняя величина двугранного угла такого многогранника?
  
• Рассмотрим только те части разбиения, которые являются тетраэдрами. Какой будет средняя величина двугранного угла такого тетраэдра?
  

(Один из этих трех вопросов тривиален — подумайте, какой...)
Я постараюсь рассказать, как ставить и решать некоторые задачи такого рода, в основном связанные с величинами «случайных углов», и, вообще, как воспринимать вероятность в геометрии и работать с такими понятиями, как «случайная точка», «случайная прямая», «случайный многогранник».
В качестве приложения я расскажу вероятностное доказательство знаменитой формулы Шлефли, утверждающей, что если многогранник P(t) изменяется с течением времени t с сохранением своего комбинаторного типа, то
$$\sum\ell_i(t)\dot{\theta}_i(t)=0,$$
где сумма берется по всем ребрам многогранника, $\ell_i$ и $\theta_i$ — длина i-ого ребра и двугранный угол при нем соответственно, а точка обозначает производную по времени.
Лекция будет доступна школьникам.