Ортогональные полиномы. Лекция 1

Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином $P_n(x)$ степени $n$ со старшим коэффициентом $1$, такой что величина
$$ \max_{x\in[-1,1]}|P_n(x)| $$
принимает наименьшее возможное значение.
Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы даются формулой
$$ P_0(x)=1, \qquad P_n(x)=2^{1-n}\cos(n\arccos x), \quad n>1. $$
Последовательность полиномов Чебышева — классический пример семейства ортогональных полиномов. Общее определение таково.
Рассмотрим на отрезке $[a,b]$ положительную непрерывную функцию $\rho(x)$. Семейство полиномов $P_n$, $n\in\mathbb N\cup\{0\}$, называется семейством ортогональных полиномов с весом, если
1. полином $P_n$ имеет степень $n$;
2. при $n_1\ne n_2$ выполнено
$$ \int_a^b P_{n_1}(x)P_{n_2}(x)\rho(x)\,dx=0. $$
Такое семейство $\{P_n\}$ единственно с точностью до умножения каждого $P_n$ на ненулевую константу. Упражнение для читателя: с каким весом ортогональны на отрезке $[-1,1]$ полиномы Чебышева?
Если $[a,b]=[-1,1]$, а $\rho(x)\equiv1$, то возникают так называемые полиномы Лежандра, впервые возникшие в работе Лежандра о движении планет в Солнечной системе и возникающие в самых разных областях математики.
Например, рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные числа этой матрицы? Мы увидим, что ключевую роль в этой задаче играют как раз полиномы Лежандра.
Для понимания курса достаточно уметь интегрировать элементарные функции в объёме программы средней школы; таким образом, курс доступен школьникам.