Аннотация:
Как известно, след соболевской функции класса $W_1^1(R^d)$ можно определить на любом
множестве конечной $(d-1)$-меры Хаусдорфа. Неравенство, выражающее этот принцип,
доказано Мазьёй и (независимо и чуть позже) Зимером и Майерсом в середине 70-х
годов. На самом деле, неравенство позволяет (используя и другие соображения) сказать
намного больше о геометрической структуре функций классов $W_1^1$ и BV. Пусть теперь
функция (или векторное поле) удовлетворяет более сложному дифференциальному условию
(например — поле является нормальным зарядом, то есть, его дивергенция — конечная
мера со знаком). На каких множествах можно определить след такой функции (поля) и
как выглядит соответствующее неравенство? Я не дам полного или даже хоть
сколько-нибудь исчерпывающего ответа на этот вопрос, но опишу дискретную модель, в
которой что-то ясно, разберу интересный частный случай, а также сформулирую
несколько гипотез.
|
