Эрмитовы уравнения Янга–Миллса и их обобщения

Эрмитово уравнение Янга–Миллса — это нелинейное уравнение на эрмитову метрику, заданную на голоморфном векторном расслоении над компактным кэлеровом многообразием. Его можно также рассматривать как уравнение на унитарную связность, ассоциированную с указанной эрмитовой метрикой. Если размерность базового многообразия равна 1, то решениями эрмитова уравнения Янга–Миллса являются плоские связности. Если эта размерность равна 2, решениями являются анти-автодуальные связности, называемые иначе инстантонами. Тем самым, эрмитовы уравнения Янга–Миллса можно рассматривать как многомерное обобщение уравнений дуальности.
Основным результатом первой части доклада, относящейся к эрмитовым уравнениям Янга–Миллса, является теорема Дональдсона о существовании и единственности решения граничной задачи Дирихле для эрмитова уравнения Янга–Миллса на компактном кэлеровом многообразии с краем.
Вторая часть посвящена деформированному эрмитову уравнению Янга–Миллса. Это обобщение эрмитова уравнения Янга–Миллса возникло в работах Яу с соавторами. Деформированное эрмитово уравнение Янга–Миллса редуцируется к эрмитову уравнению Янга–Миллса в пределе большого объема. Существование решения деформированного эрмитова уравнения Янга–Миллса при дополнительных условиях типа положительности кривизны доказывается с помощью потока теплопроводности. Этот поток существует при всех временах и в пределе большого объема сходится к решению деформированного эрмитова уравнения Янга–Миллса.