|
ВИДЕОТЕКА |
|
О самоподобном поведении логарифмических сумм теории почти периодических операторов И. И. Лукашова |
|||
Аннотация: Доклад основан на совместной работе с А.А. Федотовым. Объектом исследований является логарифмическая сумма \begin{equation*}S_N(\omega,\zeta)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}\ln\left( 1+e^{-2\pi i(\omega n+\frac{\omega}{2}+\zeta)}\right)\end{equation*} с большим числом слагаемых \begin{equation*}\Pi_N(\omega,\theta)=\prod\limits_{n=0}^{N-1}\cos{\pi\left( \omega n+\theta\right) },\quad N\in\mathbb{N}\end{equation*} из теории почти периодических уравнений (см. [1], [2]). Кроме того, логарифмическая сумма может быть выражена в терминах специальной функции, являющейся мероморфным решением разностного уравнения первого порядка: \begin{equation*}\sigma_h(z+h)=(1+e^{-iz})\cdot\sigma_h(z-h),\end{equation*} где Оказывается, что изучение поведения логарифмической суммы при Для изучения логарифмических сумм с большим числом слагаемых мы используем метод, примененный в [6] для изучения Гауссовых экспоненциальных сумм: получаем перенормировочную формулу, которая выражает исходную логарифмическую сумму через сумму такого же вида, но с меньшим числом слагаемых и новыми параметрами Задача сильно зависит от теоретико-числовых свойств параметра [1] Jitomirskaya S., Yang F., Pure point spectrum for the Maryland model: a constructive proof. Ergodic Theory Dynam. Systems, in press, 2020. [2] Avila A., Jitomirskaya S., The ten Matriny problem., Ann. Math. 170 (2009):303-342. [3] Babich V., Lyalinov M., Grikurov V. Diffraction theory: the Sommerfeld- Malyuzhinets technique., Oxford: Alpha Science, 2008. [4] Buslaev V., Fedotov A. On the difference equations with periodic coefficients., Adv. Theor. Math. Phys, 5(2001),1105-1168. [5] Faddeev L., Kashaev R., Volkov A. Strongly coupled quantum discrete Liouville theory., I Algebraic approach and duality. Commun. Math. Phys. 219(2001), 199-219. [6] Fedotov, A. A. Klopp An exact renormalization formula for Gaussian exponenntial sums and applications, American Journal of Mathematics, 134: 711-748, 2012. |