Аннотация:
Известна классическая конструкция Титса–Кантора–Кёхера,
позволяющая по простой йордановой алгебре $J$
построить простую алгебру Ли $\mathfrak{g}$, имеющую вид:
\begin{equation*}
\mathfrak{g} =\mathfrak{der}(J)\oplus\mathfrak{sl}_2(J).
\end{equation*}
Теорема Титса–Кантора–Кёхера утверждает, что между простыми йордановыми
алгебрами и простыми алгебрами Ли, удовлетворяющими описанной выше
формуле, существует взаимно однозначное соответствие.
Конструкцию Титса–Кантора–Кёхера можно интерпретировать как линейное
представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ автоморфизмами алгебры Ли
$\mathfrak{g}$, которое разлагается на неприводимые представления
размерностей 1 и 3. Естественным обобщением является следующее понятие.
Пусть $S$ — редуктивная алгебраическая группа. $S$-структурой на алгебре
Ли $\mathfrak{g}$ называется гомоморфизм $\Phi:S\rightarrow
\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$.
В докладе рассматриваются $SL_2$-структуры. $SL_2$-структуру назовем
короткой, если представление $\Phi$ группы $SL_2$ разлагается на
неприводимые представления размерностей 1, 2 и 3. При этом изотипное
разложение представления $\Phi$ будет иметь вид:
$$
\mathfrak{g}=
\mathfrak{g}_0
\oplus
\bigl(\mathbb{C}^2\otimes J_1\bigr)
\oplus
\bigl(\mathfrak{sl}_2\otimes J_2\bigr).
$$
Конструкция Титса–Кантора–Кёхера получается при $J_1=0$. Доклад будет
посвящён случаю $J_1\neq 0$.
Аналогично теореме Титса–Кантора–Кехера, будет установлено взаимно
однозначное соответствие между простыми алгебрам Ли с короткой
$SL_2$-структурой с $J_1\neq 0$ и так называемыми простыми
симплектическими тройками Ли–Йордана
$\left(J_1; \mathfrak{g}_0; J_2\right)$, где $J_1$ — симплектическое
пространство, $\mathfrak{g}_0$ — редуктивная подалгебра Ли в
$\mathfrak{sp}(J_1)$, а $J_2$ — простая йорданова подалгебра
симметрических операторов на $J_1$, причем на $J_1$ алгебры $J_2$ и
$\mathfrak{g}_0$ не имеют нетривиальных общих инвариантных подпространств.
Будет дана полная классификация коротких $SL_2$-структур на простых
алгебрах Ли.
Короткие и очень короткие $SL_2$-структуры можно аналогичным образом
задавать на произвольных $\mathfrak{g}$-модулях, используя соответствующее
линейное представление алгебры ли $\mathfrak{g}$. Подобная конструкция
имеет интересные приложения к теории представлений йордановых алгебр, о
которых также будет рассказано в докладе.
|
