Аннотация:
Алгебрами Кэли–Диксона над произвольным полем $F$ называется семейство
$2^n$-мерных алгебр, естественным образом обобщающих алгебры комплексных
чисел, кватернионов и октонионов. Алгебры Кэли–Диксона, вообще говоря,
некоммутативны и неассоциативны, а при $n\ge4$ перестают быть даже
альтернативными. Наиболее изученными среди них являются вещественные
алгебры главной последовательности, для которых F — поле вещественных
чисел, а все параметры процедуры Кэли–Диксона подразумеваются равными
$-1$.
Для каждого многочлена $f(x)$ над алгеброй Кэли–Диксона определён
некоторый многочлен $C_f(x)$ над полем $F$, называемый сопровождающим.
Целью данной работы является изучение связи между корнями $f(x)$,
$f'(x)$ и
$C_f(x)$ для произвольного многочлена $f(x)$ над алгеброй Кэли–Диксона. В
докладе будут изложены следующие результаты:
1.
В работе Чапмана было
показано, что при $n\le3$ корни любого многочлена $f(x)$ являются также
корнями $C_f(x)$. Установлено, что при $n\ge4$ это утверждение перестаёт
быть верным в общем случае, однако продолжает выполняться для сферических
корней многочлена $f(x)$.
2. Классическая теорема Гаусса–Лукаса утверждает,
что для любого комплексного многочлена $f(x)$ степени не меньше 1 корни
$f'(x)$ содержатся в выпуклой оболочке корней $f(x)$. Гилони и Перотти
обобщили эту теорему на случай алгебры кватернионов, показав, что в этом
случае корни $f'(x)$ содержатся в так называемой улитке Гаусса–Лукаса
${\rm sn}(f)$.
Показано, что такая формулировка теоремы Гаусса–Лукаса
остаётся верной и для произвольных вещественных алгебр главной
последовательности.
Доклад основан на совместной статье с
Соломоном Вишкауцаном, Александром Эмилевичем Гутерманом и Адамом Чапманом.
|
