Аннотация:
Граф Грюнберга–Кегеля (или граф простых чисел) $\Gamma(G)$ группы $G$ — это обыкновенный граф, вершинами которого являются все простые делители порядка $G$, и вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда в $G$ найдется элемент порядка $pq$.
По теореме Грюнберга — Кегеля, если $G$ – группа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля, то выполняется одно из следующих утверждений: $G$ – группа Фробениуса, $G$ – $2$-фробениусова группа, $G$ – расширение нильпотентной группы с помощью почти простой группы.
Группа $G$ называется распознаваемой по графу Грюнберга–Кегеля, если она определяется своим графом Грюнберга–Кегеля с точностью до изоморфизма, почти распознаваемой, если существует лишь конечное число попарно неизоморфных групп, графы Грюнберга–Кегеля которых равны $\Gamma(G)$, и нераспознаваемой по графу Грюнберга–Кегеля иначе. Недавно П. Камероном и Н. В. Масловой было показано, что если группа почти распознаваема по графу Грюнберга–Кегеля, то она почти проста. В виду этого результата и теоремы Грюнберга–Кегеля представляет интерес вопрос совпадения графов Грюнберга–Кегеля почти простой группы $G$ и группы $H$, которая является группой Фробениуса или $2$-фробениусовой группой. Решение этого вопроса было получено М. Р. Зиновьевой и В. Д. Мазуровым (2012 г.) для случая, когда $G$ проста, а в случае, когда $H$ разрешима, соответствующие результаты следуют из совокупности реузльтатов работ М. Р. Зиновьевой и А. С. Кондратьева (2015 г.), И. Б. Горшкова и Н. В. Масловой (2018 г.). В этом докладе мы обсуждаем решение вопроса для оставшегося случая, когда группа $G$ почти проста, но не проста, а группа $H$ является неразрешимой группой Фробениуса. Доклад основан на результатах совместной с Н. В. Масловой работы.
|
