Аннотация:
В 1949 году И. Л. Раухваргер доказала, что для всякого метрического компакта $X$ и любого счетного множества $H \subseteq X$ существует уплотнение (т.е. непрерывная биекция) подпространства $X \setminus H$ на метрический компакт. Известно, что ограничение на мощность $H$ здесь существенно: в 1977 году Е. Г. Пыткеев доказал, что всякое метрическое сепарабельное пространство мощности $\frak{c}$ можно разбить на два континуальных подпространства, каждое из которых не уплотнимо на полное метрическое пространство.
В 2022 году В. И. Белугин, А. В. Осипов и Е. Г. Пыткеев в работе “О свойствах подклассов слабо диадических компактов” поставили вопрос, можно ли усилить теорему Раухваргер, ослабив условие счетности $H$ до условия $|H|\leq\kappa$ для какого-нибудь кардинала $\kappa$, промежуточного между $\aleph_0$ и $\frak{c}$. Мы представляем утверждение, из которого следует отрицательный ответ.
Теорема. {\it Пусть $X$ — полное метрическое пространство и для множества $H \subseteq X$ выполняется $w(X) < |H| < \frak{c}$. Тогда подпространство $X \setminus H$ невозможно уплотнить на $\sigma$-компактное пространство.}
Здесь $w(X)$ обозначается вес пространства $X$. В частности, для метрических компактов получается
Следствие. {\it Пусть $X$ — несчетный метрический компакт и для множества $H \subseteq X$ выполняется $\aleph_0 < |H| < \frak{c}$. Тогда подпространство $X \setminus H$ невозможно уплотнить на $\sigma$-компактное пространство (и, следовательно, на компакт).}
|
