Критерий квази-безграничной делимости для некоторого класса случайных векторов

В данном докладе рассматриваются случайные векторы, функция распределения которых имеет следующий вид:
\begin{eqnarray}\label{main_rep} F(x) = \alpha F_{\mathrm{disc}}(x) + (1-\alpha) F_{\mathrm{abs}}(x), \quad x\in \mathbb{R}^d, \end{eqnarray}
где $\alpha\in(0,1]$, а $F_{\mathrm{disc}}(x)$, $F_{\mathrm{abs}}(x)$ обозначают дискретную и абсолютно непрерывные части соответственно:
\begin{eqnarray} F_{\mathrm{disc}}(x)= \sum_{x_k\in(-\infty,x)} p_{x_k},\quad\text{и}\quad F_{\mathrm{abs}}(x)=\int_{(-\infty,x)} p(u) du, \quad x\in \mathbb{R}^d. \end{eqnarray}
Здесь $x_k \in \mathbb{R}^d$, $k \in \mathbb{N}$ – различные векторы с весами $p_{x_k} \geqslant 0$, $k \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=1}^{\infty}p_{x_k} = 1$;
$p:\,\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$ – плотность распределения, $p(u) \geqslant 0$, $u\in \mathbb{R}^d$ и $\int_{\mathbb{R}^d} p(u) du = 1$. Через $(-\infty, x)$, где $x=(x^{(1)},x^{(2)},\ldots, x^{(d)})\in \mathbb{R}^d$ обозначим $(-\infty, x^{(1)})\times\ldots\times (-\infty, x^{(d)})\subset \mathbb{R}^d$.
Для векторов с функцией распределения вида \eqref{main_rep} будет получен критерий принадлежности к классу квази-безгранично делимых распределений. Все результаты будут сформулированы для общего случая – суммы ненулевой почти-периодической функции и преобразования Фурье некоторой плотности, то есть рассматривается функция $h:\, \mathbb{R}^d\to \mathbb{C}$ такая, что
\begin{eqnarray*} h(t)=h_{\mathrm{disc}}(t)+h_{\mathrm{abs}}(t),\quad t\in\mathbb{R}^d, \end{eqnarray*}
где
\begin{eqnarray*} h_{\mathrm{disc}}(t) = \sum_{y\in Y} q_{y}e^{i\langle t,y\rangle},\quad \text{и}\quad h_{\mathrm{abs}}(t) = \int_{\mathbb{R}^d} q(y) e^{i\langle t,y\rangle} d y,\quad t\in \mathbb{R}^d, \end{eqnarray*}
где $Y\subset \mathbb{R}^d$ непустое не более чем счетное множество, $q_y \in \mathbb{C}$ для всех $y\in Y$ и $0<\sum_{y \in Y}|q_y|<\infty$, функция $q:\,\mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ удовлетворяет $\int_{\mathbb{R}^d}|q(y)| d y < \infty$.