Аннотация:
Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n\geqslant1$, — ограниченная область и $f(\cdot,\cdot)$ - неотрицательная непрерывная функция в $\overline{\Omega}\times\mathbb{R}^1$ такая,что $f(x,0)=0$ $\forall\,x\in\overline{\Omega}$. Мы рассматриваем так называемые большие решения уравнения
\begin{equation}\label{Sh1}
-\Delta u+f(x,u)=0\text{ in }\Omega,
\end{equation}
то есть решения $u(x)$ уравнения \eqref{Sh1}, удовлетворяющие граничному условию
\begin{equation}\label{Sh2}
\lim_{d(x)\to0}u(x)=\infty,\quad d(x):=dist(x,\partial\Omega).
\end{equation}
Если $f=f(u)$ является монотонной функцией, то существование большого решения связано с хорошо известным условием Келлера-Оссермана на
рост функции $f(u)$ при $u\to\infty$ и с соответствующими обобщенными условиями Келлера-Оссермана для различных классов общих неотрицательных немонотонных нелинейностей $f(x,u)$ (S. Dumont, L. Dupaigne, O. Goubet, V. Radulescu (2007), J. Lopez-Gomez (2000) и др.).
Принципиально более сложной является проблема единственности большого решения. В случае области $\Omega$ с гладкой границей и $f(u)=u^p$, $p=\frac{n+2}{n-2}$, $n>2$, единственность была впервые доказана в работе C. Loewner, L. Nirenberg (1974). При $f(u)=u^p$, $p>1$, указанная единственность была установлена в работе C. Bandle, M. Marcus (1992). Что касается общей нелинейности $f(x,u)$, M. Marcus и L. Veron (2003) доказали единственность большого решения для $C^2$–гладкой ограниченной $\Omega$ если:
$f(x,u)\geqslant c_0d(x)^\alpha u^p$ $\forall\,x\in\Omega$, $\forall\,u\geqslant0$, $p>1$, $\alpha>0$, $c_0=const>0$.
Наконец, в [1] была высказана гипотеза,что достаточным условием единственности является:
$f(x,u)\geqslant c_0\exp\left(-c_1d(x)^{-\alpha}\right)u^p$ $\forall\,x\in\Omega$, $\forall\,u\geqslant0$, $p>1$, $0<\alpha<1$, $c_1>0$.
Мы установили справедливость этой гипотезы. Более того,единственность доказана даже при при более слабых ограничениях на вырождение нелинейности $f(x,u)$ на границе области $\Omega$:
$f(x,u)\geqslant c_0h_\omega\left(d(x)\right)u^p$ $\forall\,x\in\Omega$, $p>1$, где $h_\omega(s)=\exp\left(-s^{-1}\omega(s)\right)$ и неубывающая непрерывная функция $\omega(\cdot)$ удовлетворяет условию Дини:
\begin{equation}\label{Sh3}
\int_0^cs^{-1}\omega(s)ds<\infty,\quad\forall\,c>0.
\end{equation}
ВОПРОС: является ли \eqref{Sh3} также и необходимым условием для единственности большого решения?
В [3] было доказано, что условие \eqref{Sh3} является достаточным условием для существования так называемого суперсингулярного решения $u_a(x)$ уравнения \eqref{Sh1} с произвольной точкой $a\in\partial\Omega$, то есть неотрицательного решения \eqref{Sh1}, удовлетворяющего граничному условию $u_a(x)=0$ $\forall\,x\in\partial\Omega\setminus\{a\}$ с сингулярностью в точке $\{a\}$ более сильной, чем сингулярность соответствующего ядра Пуассона. Нами показано в [2], что условие \eqref{Sh3} является также и необходимым условием существования суперсингулярного решения $u_a(x)$ уравнения \eqref{Sh1} с произвольной точкой $a\in\partial\Omega$. Этот факт может рассматриваться также как косвенный аргумент в пользу позитивного ответа на поставленный выше вопрос.
\begin{thebibliography}{100}
\bibitem{1}
Lopez-Gomez J., Mair L., Veron L., General uniqueness results for large solutions. Z. Angew. Math. Phys., 71:109 (2020), 14 p.
\bibitem{2} Shishkov A. E., Large and very singular solutions to semilinear elliptic equations. Calc.Var.PDE, 61:102(2022), 28p.,https://doi.org/10.1007/s00526-022-02214-7
\bibitem{3} Shishkov A. E., Veron L., Diffusion versus absorption in semilinear elliptic equations. J. Math. Anal. Appl. 352 (2009), 206–217.
\end{thebibliography}
\end{document}
|
