Аннотация:
Для размерностей $4 \leq n \leq 63$ на данный момент неизвестно, верна ли гипотеза Борсука, утверждающая, что любое компактное подмножество $\mathbb{R}^n$ может быть разбито на $n+1$ часть строго меньшего диаметра. В размерности $4$ было доказано лишь то, что существует разбиение на 9 частей, удовлетворяющее условию. По-видимому, доказательство того, что существует разбиение на 8 частей, находится в пределах досягаемости, однако требует большого объема компьютерных расчетов. Кроме того, представляют интерес минимальных значений $d_{4,k}$, определяемых следующим образом: любое множество единичного диаметра $M \subset =\mathbb{R}^4$ заведомо может быть разбито на $k$ частей диаметра не более $d_{4,k}$.
В докладе будет представлены оценки $d_{4,k}$, основанные на результатах В. В. Макеева об универсальных покрывающих множествах. Из некоторого симметричного 14-гранника, описанного около единичной сферы, получено семейство множеств, каждое из которых разбивается на заданное число частей минимального диаметра при помощи оптимизационного алгоритма.
|
