Модули поляризованных гиперкэлеровых многообразий типа $Kum^n$

В настоящий момент известны два семейства деформационно неэквивалентных неприводимых голоморфных симплектических многообразий типа $Hilb^n(K3)$ и $Kum^n(A)$ во всех четных размерностях. Первые результаты об общем типе пространств модулей поляризованных многообразий типа $Hilb^2(K3)$ были получены в серии совместных статей Гриценко-Hulek-Sankaran (2010-2012). Построение проективных гиперкэлеровых многообразий типа $Kum^n(A)$ является трудной задачей. Неизвестно ни одного примера полного 4-х мерного семейства поляризованных многообразий данного типа. Исследование геометрического типа пространств модулей таких многообразий также сопряжено со многими трудностями из-за существования неканонических особенностей внутри пространства модулей и на его границе.
В докладе будет предложен новый метод построения канонических дифференциальных форм на пространстве модулей многообразий типа $Kum^n$ с расщепимой поляризацией для очень широкого класса размерностей 2n и степеней поляризации $2d$. В частности, мы покажем, что размерность Кодаиры пространства модулей неотрицательна в случае $Kum^2$ и $2d=8$, $Kum^3$ и $2d=6$, $Kum^4$ и $2d=4$. В основе метода лежит авторская $D_8$-конструкция автоморфного дискриминанта пространства модулей поверхностей Энриквеса и теория тета-блоков Гриценко-Загира-Скоруппы.