Автоморфизмы ожерелий

В докладе будет описана некоторая замечательная последовательность абелевых групп, возникающая из двуцветных ожерелий. Начало последовательности такое:
$\mathbb Z_1$, $\mathbb Z_1$, $\mathbb Z_2$, $\mathbb Z_3,$ $\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2$ $\mathbb Z_7$, $\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_4$, $\mathbb Z_{21}$.
Никаких доказательств не будет представлено, но будет продемонстрировано на примерах огромное количество удивительных свойств этих групп. Порядки этих групп известны как последовательность Слоуна A027362, но сами группы ранее нигде не описывались.
Двуцветное ожерелье — это циклическая расстановка двух символов, скажем, 0 и 1. Непериодические ожерелья находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми многочленами данной степени над полем из двух элементов. Наиболее естественная конструкция такого соответствия опирается на выбор нормального базиса в расширении $GF(2^k)/GF(2)$. Композиции соответствий, отвечающих разным базисам, образуют группу $G_k$, о которой и пойдет речь. Дмитрий Пасечник дал (опять же без доказательства) еще две конструкции групп, дающих экспериментально тот же результат.