Аннотация:
В теории алгебраических групп преобразований видное место занимают сферические многообразия — это алгебраические многообразия, снабжённые регулярным действием связной редуктивной группы $G$ таким образом, что борелевская подгруппа $B \subset G$ обладает плотной открытой $B$-орбитой. Наиболее известные примеры сферических многообразий — торические многообразия, многообразия флагов и симметрические пространства. С самого начала изучения сферических многообразий в 1980-е гг. внимание исследователей привлекала задача их классификации. Эта задача естественным образом разбивается на две независимых подзадачи: во-первых, классифицировать всевозможные однородные сферические многообразия (они называются сферическими однородными пространствами), а во-вторых, для каждого сферического однородного пространства описать его всевозможные открытые эквивариантные вложения. Полное решение второй подзадачи было известно ещё на заре развития этой науки благодаря знаменитой теории Луны–Вюста открытых эквивариантных вложений однородных пространств. Данная теория позволяет описать все сферические многообразия с фиксированной открытой $G$-орбитой в терминах так называемых цветных вееров, которые обобщают обычные вееры, используемые для классификации торических многообразий. Задача же классификации сферических однородных пространств оказалась гораздо более сложной и потребовала для своего решения ещё нескольких десятилетий. Принципиальный сдвиг в этом направлении произошёл в 2001 г. благодаря работе Луны, в которой он свёл задачу к задаче классификации так называемых чудесных многообразий (по-английски «wonderful varieties») и сформулировал гипотезу об их полном комбинаторном описании. Чудесные многообразия — это гладкие полные $G$-многообразия, обладающие плотной открытой $G$-орбитой и удовлетворяющие дополнительным условиям на конфигурацию остальных $G$-орбит. Эти многообразия являются сферическими и включают в себя многообразия флагов. В данном курсе планируется обсудить упомянутые выше сюжеты, чудесные многообразия и два различных подхода к доказательству гипотезы Луны, один из которых, инициированный самим Луной в той же работе 2001 г., в итоге привёл к успеху.
