Аннотация:
В докладе я предполагаю рассказать о двух несложных, но новых фактах, связанных с монодромией интегрируемых систем.
СЮЖЕТ ПЕРВЫЙ. Пусть есть система с двумя степенями свободы с отображением момента $F$, бифуркационная диаграмма которой состоит из одного луча, исходящего из точки $Q$ на плоскости. Пусть внутренним точкам луча соответствует перестройка типа атома $A^*$, а в прообразе $F^{-1}(Q)$ есть
вырожденная точка ранга 0. Недавняя статья Broer, Efsthatiou, Lukina (2010, http://efstathiou.gr/static/files/gfm.pdf) говорит, что такая система имеет дробную монодромию с матрицей
$$\begin{pmatrix}1&0\\{\tfrac{k-1}{2}}&1\end{pmatrix}$$
для некоторого целого $k$. Естественный вопрос — как связать число $k$ с топологией особого слоя?
Я докажу, что если особый слой $F^{-1}(Q)$ содержит единственную особую точку, то число $k$ равно 0 или 1. Именно эта ситуация встречается для системы 1:(-2) резонанса.
СЮЖЕТ ВТОРОЙ. Пусть некоторая интегрируемая система с отображением момента $F$ имеет особенность типа седло-седло. Обозначим через $U$ четырехмерную окрестность особого слоя. Симплектическая форма точна на $U$, поэтому можно зафиксировать ее первообразную и говорить о переменных действия, определенных на каждом регулярном торе в $U$. Пусть $L_h$ — объединение всех торов, на которых значения всех переменных действия лежат в $h\mathbb Z$, где $\mathbb Z$ — целые числа и $h>0$. Наложим дополнительное условие: все торы на одном слое отображения $F$ одновременно лежат или не лежат в $L_h$. Рассмотрим образ $F(L_h)$. Это дискретная “решетка” на плоскости.
Если $U$ имеет тип прямого произведения, легко видеть, что есть гомеоморфизм $g$ из плоскости на себя, который при любом $h$ переводит $F(L_h)$ в прямую решетку вида $(h\mathbb Z)\times(h\mathbb Z)$. А что будет, если $U$ имеет тип полупрямого произведения? Ответ будет такого типа: есть гомеоморфизм $g$, который при любом $h$ переводит $F(L_h)$ в определенную подрешетку прямой решетки $(h\mathbb Z)\times(h\mathbb Z)$. В качестве примера я рассмотрю седловую особенность волчка Манакова. Полученная картинка согласуется с изображением спектра квантового волчка Манакова из статьи Садовского и Жилинского (http://arxiv.org/abs/math-ph/0703045 ; рисунки 1 и 13).
Цикл докладов
|
