Аннотация:Каустикой строго выпуклого ограниченного плоского бильярда называется такая кривая,
касательные прямые к которой отражаются от границы бильярда в её же касательные прямые.
Знаменитая гипотеза Бирхгофа утверждает, что если граница имеет внутреннюю окрестность,
расслоенную на замкнутые каустики, то бильярд – эллипс. Гипотеза Бирхгофа исследовалась многими
математиками: Х. Порицким, М.Бялым, С.В.Болотиным, А.Е.Мироновым, В.Ю.Калошиным, А.Соррентино
и другими.
Мы исследуем ее обобщенную двойственную версию, сформулированную С.Л.Табачниковым. А именно,
рассмотрим замкнутую гладкую строго выпуклую плоскую кривую $\gamma\subset\mathbb{RP}^2$,
снабженную структурой двойственного бильярда: семейством нетривиальных проективных инволюций,
действующих на её проективных касательных прямых и оставляющих точки касания неподвижными.
Предположим, что её внешняя окрестность допускает слоение на замкнутые кривые (включая $\gamma$) так,
что инволюция каждой касательной прямой переставляет ее точки пересечения с каждой индивидуальной кривой (листом).
Гипотеза Табачникова утверждает, что тогда
$\gamma$ и листы слоения - коники, образующие пучок. Из нее следует гипотеза Бирхгофа и ее версии на сфере и на плоскости Лобачевского.
Мы докажем положительный ответ в случае, когда кривая $\gamma$$C^4$-гладка и слоение
имеет рациональный первый интеграл. Последнее условие, в частности, означает существование
непостоянной рациональной функции, ограничение которой на каждую касательную прямую к $\gamma$
инвариантно относительно соответствующей инволюции. Если такая рациональная функция существует,
то двойственный бильярд называется рационально интегрируемым.
Для доказательства мы покажем, что каждый $C^4$-гладкий
росток плоской кривой $\gamma$, снабжённый рационально интегрируемой структурой двойственного
бильярда, является коникой и классифицируем все рационально интегрируемые двойственные бильярды
на конике. Неожиданным образом оказывается, что их список включает не только двойственные бильярды, индуцированные
пучками коник, но и две бесконечные серии экзотических бильярдов и пять дополнительных.
Доказательство состоит в комплексификации и применении методов
комплексной алгебраической геометрии и теории особенностей.
Если время позволит, кратко обсудим новые результаты о рационально 0-однородно интегрируемых кусочно-гладких проективных бильярдах.
