Аннотация:
В связи с работой [Banuelos, Kulczycki. J. Funct. Anal., 2004], Кульчицким была выдвинута гипотеза о том, что вторая собственная функция оператора дробного Лапласа в шаре не радиальна, и более того, антисимметрична относительно центрального сечения шара плоскостью. В случае размерностей пространства 1 и 2, данная гипотеза была доказана в работе [Dyda, Kuznetsov, Kwaśnicki. J. Lond. Math. Soc., 2017], а в случае размерности 3, в работе [Ferreira. NoDEA, 2019], с использованием методов Ароншайна и Релея-Рица для нахождения нижних и верхних оценок на собственные значения. В недавней работе [Fall, Feulefack, Temgoua, Weth. Adv. Math., 2021], гипотеза Кульчицкого была доказана с помощью оценок индекса Морса собственных функций. Доклад будет посвящен работе [Benedikt, Bobkov, Dhara, Girg. Proc. Amer. Math. Soc., 2022], в которой нами был представлен альтернативный подход к доказательсту данной гипотезы во всех размерностях, основанный на развитии т.н. метода движущейся поляризации, введённого ранее в [Bobkov, Kolonitskii. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 2019], применительно к задачам с дробными операторами, принципиально отличный от предыдущих подходов.
