Аннотация:
Представим, что $r$ друзей (каждый со своими собственными предпочтениями) собираются поделить деньрожденный пирог,
представленный в виде отрезка [0,1]. Они планируют сделать $r-1$ разреза, и затем распределить полученные $r$ кусков так,
чтобы друзья не завидовали друг другу.
Классическая теорема Гейла говорит, что такое деление без зависти существует при стандартных предположениях:
(1) предпочтения замкнуты, и (2) друзья голодны, то есть, никто не предпочтёт вырожденный кусок пирога.
Мы покажем, что если $r$ – простое число, то можно опустить условие (2), а также возможно обогатить наш сценарий:
После того, как пирог разрезан, куски раскладывают по тарелкам, стоящим на круглом столе, не более одного куска в тарелку.
После этого каждый из друзей делает свой выбор, указывая на одну (или несколько) наиболее предпочитаемых тарелок.
При этом выбор может зависеть не только от содержания выбранной тарелки, но и от общего расположения кусков,
например, от содержания соседних тарелок.
В этом случае для деления без зависти достаточно замкнутости предпочтений.
Далее мы вводим фигуру дракона. Есть два сценария.
1. Собрались $r-1$ друзей, они делят пирог на $r $ частей. Когда пирог разрезан и разложен по тарелкам, дракон забирает одну,
причём его предпочтения никому не известны.
Друзья должны иметь возможность распределить оставшиеся тарелки, не завидуя ни друг другу, ни дракону.
2. $r+1$ друзей делят пирог на $r$ частей. После этого приходит свирепый дракон и съедает одного из друзей.
Задача: надо разделить пирог так, чтобы независимо от того, кого именно съест дракон, оставшиеся друзья могли бы распределить тарелки с пирогом
без зависти.
Доказательства использует методы эквивариантной топологии и комбинаторный анализ конфигурационных пространств.
Доклад основан на препринте arXiv:2302.02701 ; мы также упомянем результаты С. Аввакумова, Р. Карасёва, F. Meunier, F.E. Su и других.
