О гипотезе Ньюмена

В классической работе Ч. Ньюмена (1980) центральная предельная теорема (ЦПТ) доказана для стационарных случайных полей, заданных на $d$-мерной целочисленной решетке, имеющих суммируемую ковариационную функцию и обладающих свойством ассоциированности (любое семейство независимых случайных величин автоматически является ассоциированным). В этой же статье им была выдвинута гипотеза о справедливости ЦПТ для случайных полей со «слабо расходящимися» частичными суммами ряда, образованного значениями ковариационной функции. В 1984 Н. Херрндорф дал отрицательный ответ на эту гипотезу, построив контрпример стационарного ассоциированного процесса при $d=1$, у которого упомянутые частичные суммы имели логарифмический рост, а ЦПТ не выполнялась. В 2005 А. П. Шашкиным было показано, что никакая сколь угодно медленная расходимость (в смысле Караматы) таких частичных сумм не может обеспечить справедливость гипотезы Ньюмена.
В 2011 докладчиком установлено, как следует модифицировать гипотезу Ньюмена при любом натуральном $d$, чтобы получить необходимые и достаточные условия ЦПТ для стационарных ассоциированных случайных полей. Оказалось, что ключевую роль играет условие равномерной интегрируемости квадратов нормированных частичных сумм случайного поля. Для доказательства используется анализ асимптотического поведения дисперсий сумм, берущихся по «целочисленным» параллелепипедам, как медленно меняющихся функций многих переменных.
Все сведения, необходимые для понимания доклада, будут напоминаться слушателям.