Нелинейные волны в континуальной системе гиперциклической репликации

Репликаторные системы, предложенные в работах М. Эйгена и П. Шустера играют большую роль в исследованиях по динамики популяций, эволюционной теории игр [1], а также в исследованиях, связанных с теорией предбиологической эволюции [2]. Эти системы описываются системами не нелинейных дифференциальных уравнений, заданных на симплексе. С социологической точки зрения система гиперцикла реализует альтруистический подход взаимодействия видов, про котором каждый последующий вид катализирует последующий в замкнутом цикле. Доказано, что такой способ взаимодействия видов обеспечивает выполнение эволюционной триады Дарвина. В докладе рассматривается математическая модель системы гиперцикла с бесконечно большим числом видов. Ранее системы вида Кроу-Кимуры с бесконечно большим числом видов были рассмотрены в [3,4]. Представленная математическая модель гиперцикла имеет вид интегро-дифференциального уравнения в частных производных с запаздыванием по «пространственной» переменной. Доказана теорема существования, единственности и не отрицательности решения. Решения представляют незатухающую последовательность нелинейных волн. Изучены свойства стационарных решений. Показано, что в этом случае в результате бифуркации Андронова-Хопфа возникает устойчивый предельный цикл [5].
[1] Hofbauer J., Sigmund К. Evolutionary Games and Population Dynamics. Cambridge University Press, 1998.
[2] Eigen M., Schuster P. The Hypercycle: A Principle of Natural Self-Organization. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1979.
[3] Bratus A.S., I. Yegorov, A. Novozhilov. Open quasispecies models: Stability, optimization, and distributed extension (печатный). Journal of Mathematical Analysis and Application, https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.123477 2019.
[4] Братусь А.С., Дрожжин С. В., Якушкина Т. С. Математические модели эволюции и динамики репликаторных систем. Москва, УРСС, 2022, 265 с.
[5] Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and its Applications. Springer, New York, 1976.