О дзета-функциях. Семинар 1

История дзета-функций началась с вопроса из XVII-го века: чему равна сумма обратных квадратов? и показала свою глубину, когда Эйлер в XVIII-м веке ответил:
$$ \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=\frac{\pi^2}{6}. $$
Попутно Эйлер объяснил, при чём тут простые числа, как разлагать на множители многочлены бесконечных степеней, чему равны суммы обратных четвёртых, шестых, восьмых, ... степеней и (хотя не очень на этом настаивал) объявил, что
$$ 1+2+3+4+\dots=-\frac{1}{12}. $$
В курсе будет рассказано, каким из идей Эйлера за минувшие столетия удалось придать точный смысл, а какие остаются вдохновляющими аналогиями. В современной математике рассматриваются дзета-функции числовых полей, алгебраических многообразий над конечными полями (здесь дела обстоят особенно хорошо), римановых многообразий (ведь замкнутые геодезические похожи на простые числа, правда?), операторов Лапласа на них и много чего ещё.

Пререквизиты. Понимание разных частей курса потребует разной математической подготовки. В начале будет достаточно некоторого владения основами математического анализа; крайне желательно также умение проверять числовые равенства с помощью современных компьютерных средств. Для некоторых частей потребуется владение определениями из «взрослой» математики, которые по возможности будут объяснены.

Примерная программа.
1. История сходящихся бесконечных сумм. Дзета-функция Римана и её аналитическое продолжение. Произведение Эйлера и нетривиальные нули. Гипотеза Римана. Связь с распределением простых.
2. Дзета-функции числовых полей. Связь с арифметикой.
3. Конечные поля и алгебраическая геометрия над ними. Дзета-функции Хассе-Вейля и их эмпирическая основа. Гипотезы Вейля и история их доказательства.
4. Дзета-функции в различных разделах математики. Некоторые открытые вопросы.