Частотно-временной анализ. Лекция 1

Частотно-временной анализ – один из современных разделов гармонического анализа, который занимается изучением сдвигов и модуляций в пространствах функций и операторов. Первые результаты появились в 30-х годах вместе с бурным развитием квантовой механики и связаны с именами Вейля, Вигнера и Неймана. В последние 20 лет интерес к этому разделу анализа возродился вновь в связи с богатыми приложениями в теории информации и анализе сигналов. Другая причина возрождения интереса - интенсивное развитие теории всплесков (wavelet theory), которая “похожа” на частотно-временной анализ. Один из основных изучаемых объектов – оконное преобразование Фурье (Short-time Fourier transform), которое сдержит в себе информацию о сигнале и его преобразовании Фурье одновременно.
Особое внимание будет уделено изучению фреймов из частотно-временных сдвигов фиксированной функции. В последнее время в этом направлении было доказано много замечательных результатов, см. [5]–[8].
Курс лекций нацелен на изучение частотно-временного анализа с нуля и до современных результатов, относящихся к фреймам Габора и пространствам модуляций. В основном мы будем следовать книге К. Грохенига [1].

Список литературы

1. K. Grochenig, Foundations of Time-Frequency Analysis, Applied and Numerical Harmonic Analysis (ANHA), Birkhauser, Boston, MA, 2001    
2. C. Heil, “History and evolution of the density theorem for Gabor frames”, J. Fourier Anal. Appl, 13:2 (2007), 113–166    
3. A. Ron and Z. Shen, “Weyl–Heisenberg frames and Riesz bases in $L^2(\mathbb R^d)$”, Duke Math. J., 89:2 (1997), 237–282    
4. K. Seip, “Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann–Fock space. I”, 429, 1992, 91–106    
5. K. Grochenig, J. Stockler, “Gabor frames and totally positive functions”, Duke Mathematical Journal, 162:6 (2011), 1003–1031  
6. K. Grochenig, J.L. Romero, J. Stockler, “Sampling theorems for shift-invariant spaces, Gabor frames, and totally positive functions”, Inventiones mathematicae, 211:3 (2016), 1119–1148    
7. Yu. Belov, A. Kulikov, Yu. Lyubarskii, “Gabor frames for rational functions”, Inventiones mathematicae, 231:2 (2023), 431–466      
8. X. Dai, M. Zhu, Frame set for Gabor systems with Haar window, 2022, arXiv: arXiv-paper