Минимальные триангуляции многообразий, похожих на проективные плоскости, и их группы симметрий

Хорошо известна граница Брема-Кюнеля: если $d$-мерное комбинаторное многообразие (без края) имеет меньше $3d/2+3$ вершин, то оно кусочно линейно гомеоморфно сфере. При этом критическое число вершин $3d/2+3$, кроме сфер, могут иметь только многообразия, похожие на проективные плоскости, которые существуют лишь в размерностях 2, 4, 8 и 16. В размерностях 2 и 4 имеются единственная 6-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости и единственная 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости. Однако в размерностях 8 и 16 ситуация гораздо сложнее. Лишь недавно докладчику удалось построить примеры (сразу очень много) 27-вершинных триангуляций 16-мерных многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. В докладе я расскажу о применении к изучению групп симметрий таких триангуляций результатов Смита и Бредона по гомологической теории периодических преобразований простого порядка, а также о новых примерах 15-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости.