Модель джозефсоновского контакта, уравнения Гойна, детерминантные поверхности и уравнения Пенлеве-3

Эффект туннелирования, предсказанный Б. Джозефсоном (Нобелевская премия 1973 г.), относится к Джозефсоновскому контакту: системе из двух сверхпроводников, разделённых достаточно узкой прослойкой из диэлектрика. Он состоит в существовании проходящего через него сверхтока, опи- сываемого уравнениями, открытыми Джозефсоном. Сильно шунтированный Джозефсоновский контакт моделируется семейством динамических си- стем на двумерном торе, описываемым дифференциальным уравнением, зависящим от трёх параметров. Мы фиксируем один параметр (частоту) и исследуем число вращения динамической системы как функцию от двух остальных параметров. Зоны фазового захвата – это те её множества уровня, которые имеют непустую внутренность. Они существуют только для целых чисел вращения. Это - эффект квантования, открытый В. М .Бухштабером, О.В.Карповым, С.И.Тертычным с помощью эквивалентного описания модели семейством систем линейных уравнений на сфере Римана.
Бухштабер и Тертычный показали, что эти линейные системы эквивалентны специальным дважды конфлюэнтным уравнениям Гойна и исследовали множества тех параметров, при которых уравнения Гойна имеют полиномиальные решения. Они показали, что эти множества параметров — детерминантные кривые, заданные условием обращения в нуль трёхдиагональной матрицы, элементы которой являются параметрами уравнения Гойна с точностью до постоянных множителей и аддитивных констант. Детерминантные кривые отвечают специальным точкам границ зон фазового захвата, изучение которых представляет интерес, и их исследование будет иметь применения к топологии зон захвата.
Мы представим новое 4-параметрическое семейство динамических систем на торе, включающее вышеупомянутую модель Джозефсоновского контакта, где тоже есть эффект квантования числа вращения, эквивалентное описание семейством линейных уравнений, а также расслоение пространства параметров на изомонодромные семейства, связанное с уравнением Пенлеве 3. Мы исследуем аффинные детерминантные поверхности в расширенном пространстве параметров, являющиеся обобщениями и двумерными продолжениями детерминантных кривых. Мы докажем их гладкость (вне некоторой координатной гиперплоскости) и рациональность. В качестве применения будет доказана гипотеза И. В. Нетая о роде комплексных детерминантных кривых. Это — совместный результат с Нетаем, который её численно обнаружил и свёл к вопросу о гладкости “проколотой” аффинной детерминантной кривой: мы докажем её гладкость. Мы дадим краткий обзор результатов и обсудим открытые задачи.