Преобразование Меллина в теории алгебраических уравнений. Лекция 3

Интегральное преобразование Меллина подобно родственным ему преобразованиям Фурье и Лапласа играет важную роль в проблемах обработки сигналов. Фундаментальным свойством, которое определяет сферы применения преобразования Меллина, является соответствие между асимптотическим поведением функции-оригинала и особенностями преобразованной функции. Роль фундаментального соответствия для преобразования Меллина функции одной переменной отмечена в многочисленных работах P. Flajolet (см., например, [1]), посвященных асимтотическому анализу сумм, возникающих в комбинаторике, дискретных вероятностных моделях, исследованиях алгоритмов и структур данных.
Широкое применение преобразования Меллина получили в теории специальных функций и теории чисел. Например, преобразование Меллина переводит тэта-функцию Якоби в дзета-функцию Римана, а значит из функцианального уравнения для первой следует функциональное уравнение для второй. В середине прошлого столетия были сформированы многомерные интегралы Меллина–Барнса, которые представляют собой обратные преобразования Меллина для произведений конечного числа $\Gamma$-функций в композициях с линейными функциями. Такие интегралы представляют гипергеометрические функции — самый обширный класс среди всех специальных функций. В него входит подкласс неконфлуэнтных гипергеометрических функций, содержащий в себе классическую гипергеометрическую функцию Гаусса и $A$-гипергеометрические ряды, введенные и в значительной мере изученные Гельфандом, Капрановым и Зелевинским [2]. Преобразования Меллина зарекомендовали себя эффективным инструментом в теории фейнмановских интегралов, в том числе в контексте исследования последних с точки зрения теории $A$-гипергеометрических функций [3].
Яркое применение многомерного преобразования Меллина для решения общего алгебраического уравнения было предложено самим Меллином в [4]. Были выписаны явные формулы для решения общего алгебраического уравнения в виде интеграла и ряда гипергеометрического типа. В этой краткой заметке Меллин не привёл обоснования многомерной формулы обращения.
Курс лекций посвящен некоторым современным результатам в теории алгебраических уравнений, инспирированным идеями Меллина.
В Лекции 1 будут введены основные понятия теории многомерных преобазований Меллина, классы голоморфных функций, переводимые друг в друга прямым и обратным преобразованиями, а также изложены идеи доказательства формул обращения [5].
Лекция 2 посвящена интегральному представлению типа Меллина–Барнса для ветви решения общего алгебраического уравнения. Будет дана характеристика области сходимости указанного интеграла и множества особенностей алгебраической функции в терминах коамёбы дискриминанта уравнения [5].
Преобразования Меллина настолько пропитаны природой комплексного анализа, что их можно считать частью теории вычетов. О том как вычисляется интеграл Меллина–Барнса с помощью многомерных вычетов и получаются представления решения в виде рядов гипергеометрического типа будет рассказано в Лекции 3 нашего курса [6].
Лекция 4 посвящена описанию аналитической реализации монодромии общей алгебраической функции [6]. Будет изложена идея так называемого логарифмического метода аналитического продолжения ветвей общей алгебраической функции, являющегося по сути аналитическим продолжением по цепочке областей. Каждый шаг непосредственного аналитического продолжения реализуется в пересечении областей $\operatorname{Log}^{-1}(D^{'})\cap \operatorname{Arg}^{-1}(D^{''})$, где $D^{'}$ — это $\operatorname{Log}$-образ области сходимости ряда, а $D^{''}$ – это $\operatorname{Arg}$-образ области сходимости интеграла Меллина–Барнса. Области сходимости полученных в результате продолжения рядов Лорана-Пюизо описаны в терминах амёбы дискриминанта уравнения [7].

Список литературы

1. P. Flajolet, X. Gourdon, P. Dumas, “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”, Theoret. Comput. Sci., 144 (1995), 3–58    
2. Gelfand, I. M., Kapranov, M. M., Zelevinsky, A. V., Discriminants, Resultants, and Miltidimensional Determinants, Birkhauser, 1994  
3. de la Cruz, L., “Feynman integrals as A-hypergeometric functions”, J. High Energ. Phys., 123 (2019)  
4. H. Mellin, “Résolution de l'équation algébrique générale $\grave{a}$ l'aide de la fonction $\Gamma$”, C.R. Acad. Sci., 172 (1921), 658–661  
5. И. А. Антипова, “Обращения многомерных преобразований Меллина и решения алгебраических уравнений”, Матем. сб., 198:4 (2007), 3–20    
6. И. А. Антипова, Е. Н. Михалкин,, “Аналитические продолжения общей алгебраической функции с помощью рядов Пюизо”, Аналитические и геометрические вопросы комплексного анализа, Сборник статей,, Труды МИАН, 279, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2012, 9–19    
7. M. Passare, A. Tsikh, “Algebraic equations and hypergeometric series”, The Legasy of N.H. Abel, Springer-Verlag, 2004, 563–582