Аннотация:
Курс является введением в теорию интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений математической физики (солитонных уравнений) с точки зрения комплексного анализа. В качестве иллюстративных примеров выбраны уравнение Кортевега–де Фриза и нелинейное уравнение Шрёдингера. Особое внимание уделяется построению всех решений, голоморфных по пространственной переменной $x$ и временной переменной $t$ в окрестности данной точки пространства $\mathbb{C}^2$ и описанию их аналитических свойств, включая характерное для солитонных уравнений параболического типа усиленное свойство Пенлеве: существование аналитического продолжения любого локального голоморфного решения до мероморфной функции на всей комплексной плоскости переменной $x$ при любом фиксированном $t$. Естественно возникнут и другие чудеса солитонной математики: бесконечные семейства коммутирующих потоков, примыкающие друг к другу иерархии рациональных, многосолитонных и конечнозонных решений, тривиальная монодромия решений вспомогательной линейной задачи, бесконечномерный грассманиан, операторы Тёплица и тау-функция – целая функция от $x$, по скорости роста которой можно догадаться, откуда пришло решение. Порядок изложения примерно соответствует порядку, принятому в прилагаемой обзорной статье [1], к которой мы будем изредка отсылать за деталями длинных доказательств.
Список литературы
А. В. Домрин, “Голоморфные решения солитонных уравнений”, Тр. ММО, 82, № 2, МЦНМО, М., 2021, 227–312
