Аннотация:
Рассмотрим следующую задачу аппроксимации функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений. Пусть $L$ – это эллиптический дифференциальный оператор второго порядка на плоскости с постоянными комплексными коэффициентами, а $X$ –- это компакт в $\mathbb C$. Требуется найти необходимые и достаточные условия на $X$, при которых всякую функцию $f$, непрерывную на $X$ и удовлетворяющую на внутренности $X$ уравнению $Lf=0$, можно равномерно на $X$ приблизить многочленами $P$ с комплексными
коэффициентами от двух вещественных переменных, удовлетворяющих условию $LP=0$ (такие многочлены называются $L$-аналитическими). В 2002–2003 гг. А.Б. Зайцев получил критерий приближаемости в этой задаче в случае, когда $X$ является компактом Каратеодори. Этот критерий формулируется в терминах
$L$-специальных областей (свойство области быть $L$-специальной — это аналитическая характеристика, которая естественно возникла в связи с обсуждаемой задачей).
Однако вплоть до настоящего момента свойства $L$-специальных областей изучены слабо. Известно, что если $L$ является сильно эллиптическим, то $L$-специальных областей не существует. Если же $L$ не является сильно
эллиптическими, то, вплоть до настоящего момента, известны лишь отдельные примеры $L$-специальных областей (это эллипсы, параметры которых специальным образом зависят от данного оператора), а также получен ряд частных результатов о том, какие области не могут быть $L$-специальными.
Известна следующая гипотеза, которая уже проверена для достаточно широкого класса областей: среди областей, ограниченных алгебраическими кривыми порядка больше двух, $L$-специальных областей для не сильно эллиптических операторов $L$ нет. Планируется обсудить эту гипотезу и привести ряд связанных с ней результатов.
|
