Аннотация:
Мы исследуем предельное поведение $p$-го момента, то есть суммы $p$-х степеней слагаемых
случайного разбиения натурального числа $n$, выбранного с равными вероятностями среди
всех разбиений числа $n$, когда $n$ возрастает к бесконечности, а $p$ – фиксированное
вещественное число.
После подходящего центрирования и масштабирования, при $p\ge1/2$
(и отличном от $1$) предельное распределение будет гауссовским,
а при $p<1/2$ – некоторым безгранично делимым распределением, зависящим от $p$,
которое мы явно описываем. В частности, при $p=0$ это распределение Гумбеля,
что было известно и ранее, а при $p=-1$ предельное распределение
связано с тета-функцией Якоби и встречалось ранее как распределение
некоторых функционалов от броуновского движения и связанных стохастических процессов.
|
